miércoles, 2 de mayo de 2012

MATEMATICOS QUE APORTARON AL CALCULO INTEGRAL





Zenón de Elea

Alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.






Leucippo, Demócrito y Antifon

Hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.




Arquímedes

Alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas.
Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a  2/3 del área del paralelogramo circunscrito. 


Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas.

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64,...
El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:
A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevo a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes  estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.




Luca Valerio 

 publicó De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. 



Kepler

En su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración.
Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.



 Fermat, Roberval y Cavalieri

Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'.
 Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo  resultado general.

 
Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri, Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.
(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:



Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m.  


Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rp para r entre 1 y n.
Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X.



  Descartes
 produjo un importante método para deteminar normales en La Géometria en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.



Huygens

Criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.Leibniz 




Torricelli y Barrow

El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo. El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli.




Leibniz

Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.

 
Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy. 

La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación  y dy = y²/2

escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.


Newton 

Escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.
En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo.


En estas dos obras, Newton calculó la expansión en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual ex.

Aquí se pueden ver la 
Newton fue el Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks. Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice:
En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad xn se convierte en (x + o)n, es decir, por el método de series infinitas,xn + noxn-1 + (nn - n)/2 ooxn-2 + ...
Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites'.


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